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Engquist-Osher

Engquist-Osher Flux公式

在计算流体动力学（CFD）中，Engquist-Osher Flux是一种用于处理双曲守恒律的数值通量计算方法。它主要用于处理非线性守恒律的数值解，特别是在处理间断解（如激波）时表现出色。以下是Engquist-Osher Flux的公式及其详细解释。

Engquist-Osher Flux公式

对于一维双曲守恒律方程：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0 \]

Engquist-Osher Flux的数值通量可以表示为：

\[ F_{EO}(u_L, u_R) = \frac{1}{2} \left[ f(u_L) + f(u_R) - \int_{u_L}^{u_R} \text{sgn}(u) \frac{df(u)}{du} du \right] \]

其中：

  • \(u_L\) 和 \(u_R\) 分别是左侧和右侧的物理量。
  • \(f(u)\) 是物理量 \(u\) 的通量函数。
  • \(\text{sgn}(u)\) 是符号函数，定义为：
\[ \text{sgn}(u) = \begin{cases} 1 & \text{if } u > 0 \\ 0 & \text{if } u = 0 \\ -1 & \text{if } u < 0 \\ \end{cases} \]

公式解释

Engquist-Osher Flux的核心思想是通过积分来处理通量的非线性部分，从而确保数值通量的稳定性和准确性。具体来说，公式中的积分部分：

\[ \int_{u_L}^{u_R} \text{sgn}(u) \frac{df(u)}{du} du \]

用于计算通量函数 \(f(u)\) 在 \(u_L\) 和 \(u_R\) 之间的变化，同时考虑了符号函数 \(\text{sgn}(u)\) 的影响。这种处理方式可以有效地捕捉间断解，如激波，而不会引入过多的数值耗散。

应用场景

Engquist-Osher Flux在CFD中主要用于处理以下问题：

  1. 激波捕捉：在处理激波等间断解时，Engquist-Osher Flux能够提供稳定的数值解，避免数值振荡。
  2. 非线性守恒律：对于非线性守恒律方程，如Euler方程，Engquist-Osher Flux能够有效地处理通量的非线性部分，确保数值解的准确性。

一维线性对流方程的 Engquist-Osher 数值通量

一维线性对流方程是一个经典的偏微分方程，形式为：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0, \]

其中 \(a\) 是常数，表示对流速度。对于该方程，通量函数 \(f(u)\) 可以写成：

\[ f(u) = a u. \]

Engquist-Osher 数值通量是一种用于离散化偏微分方程的数值方法，特别适合处理非线性问题中的激波和间断。尽管线性对流方程本身是线性的，但 Engquist-Osher 通量分裂的思想仍然可以应用。

Engquist-Osher 数值通量

Engquist-Osher 数值通量的基本思想是将通量函数 \(f(u)\) 分裂为两个部分：一个递增部分（正部分）和一个递减部分（负部分）。对于线性对流方程，数值通量定义为：

\[ F_{i+1/2} = F(u_i, u_{i+1}) = \int_0^{u_i} \max(f'(s), 0) \, ds + \int_0^{u_{i+1}} \min(f'(s), 0) \, ds, \]

其中：

  • \(f'(s) = a\) 是通量函数的导数；
  • \(\max(f'(s), 0)\) 和 \(\min(f'(s), 0)\) 分别表示正部分和负部分。

在线性对流方程中，\(f'(s) = a\) 是常数，因此可以直接计算上述积分。

具体计算

1. 正部分积分

\[ \int_0^{u_i} \max(f'(s), 0) \, ds = \int_0^{u_i} \max(a, 0) \, ds. \]

当 \(a > 0\) 时，\(\max(a, 0) = a\)，因此：

\[ \int_0^{u_i} \max(a, 0) \, ds = a \int_0^{u_i} 1 \, ds = a u_i. \]

当 \(a \leq 0\) 时，\(\max(a, 0) = 0\)，因此：

\[ \int_0^{u_i} \max(a, 0) \, ds = 0. \]

综合起来：

\[ \int_0^{u_i} \max(f'(s), 0) \, ds = \begin{cases} a u_i, & \text{if } a > 0, \\ 0, & \text{if } a \leq 0. \end{cases} \]

2. 负部分积分

\[ \int_0^{u_{i+1}} \min(f'(s), 0) \, ds = \int_0^{u_{i+1}} \min(a, 0) \, ds. \]

当 \(a < 0\) 时，\(\min(a, 0) = a\)，因此：

\[ \int_0^{u_{i+1}} \min(a, 0) \, ds = a \int_0^{u_{i+1}} 1 \, ds = a u_{i+1}. \]

当 \(a \geq 0\) 时，\(\min(a, 0) = 0\)，因此：

\[ \int_0^{u_{i+1}} \min(a, 0) \, ds = 0. \]

综合起来：

\[ \int_0^{u_{i+1}} \min(f'(s), 0) \, ds = \begin{cases} a u_{i+1}, & \text{if } a < 0, \\ 0, & \text{if } a \geq 0. \end{cases} \]

最终公式

将上述结果代入 Engquist-Osher 数值通量公式，得到：

\[ F_{i+1/2} = \begin{cases} a u_i, & \text{if } a > 0, \\ a u_{i+1}, & \text{if } a < 0, \\ 0, & \text{if } a = 0. \end{cases} \]

这与传统的迎风格式（Upwind Scheme）一致。

各项含义解释

  1. 通量函数 \(f(u) = a u\):
  2. 这是线性对流方程的通量函数，表示物理系统的对流特性。

  3. 对于线性对流方程，通量函数的导数 \(f'(u) = a\) 是常数。

  4. 正部分 \(\max(f'(s), 0)\):

  5. 表示通量函数中沿正方向传播的信息。

  6. 当 \(a > 0\) 时，信息从左向右传播，因此使用左侧值 \(u_i\)。

  7. 负部分 \(\min(f'(s), 0)\):

  8. 表示通量函数中沿负方向传播的信息。

  9. 当 \(a < 0\) 时，信息从右向左传播，因此使用右侧值 \(u_{i+1}\)。

  10. 数值通量 \(F_{i+1/2}\):

  11. 这是网格界面 \(i+1/2\) 处的数值通量，用于有限体积法或有限差分法中的离散化。
  12. 它确保了数值解的守恒性和单调性。

总结

对于一维线性对流方程，Engquist-Osher 数值通量的结果与迎风格式一致。尽管线性对流方程本身没有非线性项，但 Engquist-Osher 方法的思想仍然是分解通量函数为正负两部分，并根据传播方向选择适当的数值通量。这种方法在处理非线性问题（如无粘性 Burgers 方程）时尤为重要。

一维无粘性 Burgers 方程的 Engquist-Osher 数值通量

一维无粘性 Burgers 方程是一个经典的非线性偏微分方程，常用于研究激波和数值方法。其形式为：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0, \]

其中 $ f(u) = \frac{1}{2}u^2 $ 是通量函数。

为了用有限体积法离散这个方程，我们需要定义数值通量（numerical flux）。Engquist-Osher 数值通量是一种常用的单调守恒通量分裂方法，特别适用于处理非线性问题中的激波。

Engquist-Osher 数值通量

Engquist-Osher 数值通量的基本思想是将通量函数 $ f(u) $ 分裂为两个单调部分：一个递增部分和一个递减部分。具体来说，数值通量定义为：

\[ F_{i+1/2} = F(u_i, u_{i+1}) = \int_0^{u_i} \max(f'(s), 0) \, ds + \int_0^{u_{i+1}} \min(f'(s), 0) \, ds, \]

其中：

  • \(f'(s) = s\) 是通量函数的导数；
  • \(\max(f'(s), 0)\) 和 \(\min(f'(s), 0)\) 分别表示正部分和负部分。

对于 Burgers 方程，由于 \(f'(s) = s\)，我们可以显式地计算这两个积分。

具体计算

1. 计算正部分积分

\[ \int_0^{u_i} \max(f'(s), 0) \, ds = \int_0^{u_i} \max(s, 0) \, ds. \]

当 \(u_i > 0\) 时，\(\max(s, 0) = s\)，因此：

\[ \int_0^{u_i} \max(s, 0) \, ds = \int_0^{u_i} s \, ds = \frac{1}{2} u_i^2. \]

当 \(u_i \leq 0\) 时，\(\max(s, 0) = 0\)，因此：

\[ \int_0^{u_i} \max(s, 0) \, ds = 0. \]

综合起来：

\[ \int_0^{u_i} \max(f'(s), 0) \, ds = \begin{cases} \frac{1}{2} u_i^2, & \text{if } u_i > 0, \\ 0, & \text{if } u_i \leq 0. \end{cases} \]

2. 计算负部分积分

\[ \int_0^{u_{i+1}} \min(f'(s), 0) \, ds = \int_0^{u_{i+1}} \min(s, 0) \, ds. \]

当 \(u_{i+1} < 0\) 时，\(\min(s, 0) = s\)，因此：

\[ \int_0^{u_{i+1}} \min(s, 0) \, ds = \int_0^{u_{i+1}} s \, ds = \frac{1}{2} u_{i+1}^2. \]

当 \(u_{i+1} \geq 0\) 时，\(\min(s, 0) = 0\)，因此：

\[ \int_0^{u_{i+1}} \min(s, 0) \, ds = 0. \]

综合起来：

\[ \int_0^{u_{i+1}} \min(f'(s), 0) \, ds = \begin{cases} \frac{1}{2} u_{i+1}^2, & \text{if } u_{i+1} < 0, \\ 0, & \text{if } u_{i+1} \geq 0. \end{cases} \]

最终公式

将上述结果代入 Engquist-Osher 数值通量公式，得到：

\[ F_{i+1/2} = \begin{cases} \frac{1}{2} u_i^2, & \text{if } u_i > 0 \text{ and } u_{i+1} \geq 0, \\ \frac{1}{2} u_{i+1}^2, & \text{if } u_i \leq 0 \text{ and } u_{i+1} < 0, \\ \frac{1}{2} u_i^2 + \frac{1}{2} u_{i+1}^2, & \text{if } u_i > 0 \text{ and } u_{i+1} < 0. \end{cases} \]

总结

Engquist-Osher 数值通量通过分解通量函数为正负两部分，确保了数值解的单调性和守恒性，特别适合处理包含激波的问题。在实际计算中，可以按照上述公式直接实现该通量分裂方法。